365蝎子养殖网(大连蛇岛有两万多条蛇，放两只蜜獾多久能吃光？)

提到大连蛇岛，相信东北人都比较熟悉，南方的朋友可能也略有耳闻。大连蛇岛位于旅顺口区西北部的渤海中，距陆地最近处仅七海里。蛇岛面积仅一平方公里左右，但却活动着两万多条黑眉蝮蛇（下文简称为“蝮蛇”）。

据了解，此前大连蛇岛是与大陆相连的，但后来海陆变迁，与大陆产生了分离。分离后这座岛上的蝮蛇开始大量繁衍，它们在岛上基本没有天敌，所以就成了岛上的实际统治者。

蛇是一种极具攻击性和危险性的动物，而大连蛇岛上蝮蛇数量之多，让不少人担心蛇岛上的生态平衡。在探讨如何对岛上的蝮蛇数量进行控制时，有人提出了一个有趣的问题：如果放两只蜜獾到蛇岛上，多长时间能吃光所有的蛇？蜜獾被誉为“毒蛇杀手”，其较厚的皮肤能够有效抵御蝮蛇的攻击，而且其对蛇毒还有一定的免疫。蜜獾可以轻松咬死蝮蛇，然后就像吃辣条一样吃下去。这使得人们对于这个问题更加好奇。

虽然“两只蜜獾多久能吃光蛇岛上的两万条蛇？”这个问题看似荒诞，但它是一个很好的例子，引发我们思考生态平衡和物种间的相互作用。在自然界中，食物链是一个相对稳定的系统。然而，一旦引入外来物种，特别是捕食者，就有可能对整个生态系统造成影响。例如，自 19 世纪从欧洲引入兔群后，兔子就给澳大利亚的生态环境带来了非常糟糕的影响。

在这个背景下，本文将针对“两只蜜獾多久能吃光蛇岛上的两万条蛇？”这个问题，建立数学模型进行深入的探究和分析。

模型

在接下来的模型中，本文首先研究没有外来物种（蜜獾）的情况，以获得蝮蛇种群的基本参数。随后，引入两只不繁殖不死亡的蜜獾，并考虑它们对蝮蛇的捕食作用。最后，通过捕食者-猎物模型研究蜜獾和蝮蛇种群之间的相互作用。

没有蜜獾

据统计[1]，1973 年蛇岛上至少有 2 万条蝮蛇。但随后由于岛上栖息地遭到破坏，导致蝮蛇数量迅速减少。1981年成立了蛇岛自然保护区管理处后，蝮蛇数量从 1982 年的 10009 条增加到 2005 年的 20281 条（图 5）。蝮蛇种群现为稳定型，增长缓慢。

描述种群数量增长的基本数学模型主要有指数增长和阻滞增长模型。如果岛上蝮蛇的生存和繁殖没有任何资源的限制，则其数量S随时间t 的变化可由指数增长模型描述：

其中r为增长率（= 出生率 - 死亡率），S0 为初始种群规模。上式也被称为马尔萨斯模型。指数增长模型的基本假设是种群数量增长率是常数，即单位时间内种群数量增长量与当时种群数量成正比。然而，种群的指数增长并非可持续的状态，因为它需要无限的资源来维持。由于淡水资源和食物的有限，蛇岛上蝮蛇的数量并不能无限增长。当蝮蛇达到一定数量时，增长速度就会放缓。这种情况下，蝮蛇数量S随时间t的变化可由阻滞增长模型描述：

其中Smax为环境容量，代表了特定环境（蛇岛）可以支持的最大种群规模，上式也被称为逻辑斯蒂增长模型。上述微分方程的解为

接下来，本文分别用指数增长模型和阻滞增长模型对图 5 中蝮蛇数量随时间变化的数据进行拟合，结果如图 6 所示。

和预期一致，指数增长模型并不理想，而阻滞增长模型却能较好地描述实际数据的变化趋势。拟合结果表明，蛇岛上蝮蛇的自然增长率为 r = 0.1228，环境容量为 Smax = 21902。因此，对于给定起始时间（t = 0）蛇岛上蝮蛇数量 ，可以用以下公式描述未来时间的蝮蛇数量：

当蝮蛇初始数量等于环境容量（ S0= Smax = 21902），上式的解 S(t) = 21902。这表明此种情况下，蝮蛇数量将长期稳定在 21902 条（图 7 蓝线）。

本文还演示了另外两种情况：1. 初始蝮蛇数量低于环境容量（S0<Smax）时，蝮蛇数量将会增长，但随着种群数量的增加，增长速度将会越来越慢。最终，蝮蛇数量将趋近于环境容量，并达到稳定状态（图 7 红线）。红线表明，如果蛇岛初始蝮蛇数量为 1000 条，大约需要 60 年才能达到稳定状态。2. 初始蝮蛇数量高于环境容量（S0>Smax）时，蝮蛇数量将会下降，但随着种群数量的降低，下降速度将会越来越慢。最终，蝮蛇数量将趋近于环境容量，并达到稳定状态（图 7 绿线）。绿线表明，如果蛇岛初始蝮蛇数量为 30000 条，大约需要 30 年才能达到稳定状态。

综上所述，无论蝮蛇的初始数量为多少（但不能为零），只要经过足够长的时间，蝮蛇的数量总会趋于环境容量，并达到稳定状态。

同性蜜獾

如果引入 M = 2 只同性蜜獾，不考虑蜜獾的繁殖和死亡。假设只要岛上还有蛇，蜜獾总有办法吃到。实际上，随着蝮蛇数量的下降，蜜獾捕蛇将变得困难，本文将在下一个模型中考虑这一点。成年蜜獾平均每天消耗 1.2 千克食物，而成年蝮蛇的体重只有 150-300 克[2]。尽管蜜獾最为人熟知的是它们的猎蛇本领，但它们的主要食物并不是蛇，而是昆虫。蜜獾嗜食蜂蜜，猎食范围广泛，包括蚯蚓、白蚁、蝎子、体型较小的豪猪、野兔，甚至更大的猎物。蛇在蜜獾的食物中占比很小[3]。假设每只蜜獾每年吃 a 条蝮蛇，则之前的阻滞增长模型可修正为

其中 S0 为蝮蛇初始数量， M = 2 为蜜獾数量。注意，本文中的时间t 是以年为单位的。上式的解析解表达式较为复杂，这里不再给出。

图 8 给出了S0 = Smax = 21902 情况下，蜜獾不同捕食强度下蝮蛇数量随时间的变化。结果表明：当每只蜜獾每天吃 2 条蝮蛇（ a = 730）时，蝮蛇将在 22 年后灭绝；当每只蜜獾每天吃 1.5 条蝮蛇（a = 548）时，蝮蛇将在 37 年后灭绝；当每只蜜獾每天吃 1 条蝮蛇（ a = 365）时，蝮蛇将在 143 年后灭绝。当每只蜜獾每天吃 0.5 条蝮蛇（ a = 183）时，蝮蛇不会灭绝，但其稳定数量将下降为 18343。

接下来本文研究一下使蝮蛇灭绝的临界 a 值。当 t->∞ 时，如果蝮蛇没有灭绝，蝮蛇的数量将趋近于某个稳定值，因此一定有

由此可得

显然，当S= Smax/2 时， 取得最大值为

也就是说，只要 a<a0（约相当于每只蜜獾每 10 天吃 9 条蝮蛇），蝮蛇就不会灭绝。反之，蝮蛇就会灭绝。

异性蜜獾

引入两只异性蜜獾，假设蜜獾会通过繁殖来建立种群。蜜獾作为捕食者，蝮蛇作为猎物，两者的数量变化可以用捕食者-猎物模型描述。沃尔泰拉方程是经典的捕食者-猎物模型，经常被用来描述两个物种间因捕食和被捕食关系而形成的动力学系统。但沃尔泰拉方程没有考虑环境容量对猎物增长的限制。本文采用改进的饱和沃尔泰拉方程来模拟蝮蛇和蜜獾数量的动态相互作用。如果用 表示 年的蜜獾数量，则蝮蛇和蜜獾数量随时间的变化可由以下微分方程组描述：

在微分方程组中的第一个方程中， 表示蝮蛇充足时每只蜜獾每年捕食蝮蛇的数量。蜜獾的饮食中，只有 25% 左右包含蛇类。因此，本文取 = 365 * 25%。方程右端第二项比同性蜜獾模型中多了一个因子S /(c+S)（称为捕食率），其中c 为常数。捕食率是用来表示蜜獾捕蛇的难易程度。当蝮蛇数量足够多时（S>>c），捕食率趋近于 1，表示蜜獾捕蛇很容易；当蝮蛇数量非常少时（S<<c），捕食率趋近于 0，表示蜜獾捕蛇变得困难。本文中的计算取 c = Smax/3 ，这表示当蝮蛇数量下降到饱和数量的 1/3 时，将对捕食率产生明显影响。

在微分方程组中的第二个方程中， 表示食物充足时蜜獾的出生率。出生率同样乘了捕食率，表示当捕食不足时，蜜獾的出生率会下降（都吃不饱了，哪还有心思生孩子？）。蜜獾的繁殖能力并不强，一次只能生育一胎。蜜獾在野外的平均寿命约为 8 年，一生平均产仔 2 个[6]。因此，本文取 b = 2/8 = 0.25。d 为蜜獾死亡率，死亡率并没有与捕食率相关联，这是因为蝮蛇并不是蜜獾的唯一食物。由于蜜獾在岛上没有天敌，所以基本为老死。因此，本文取 d = 1/8。

通过数值求解以上微分方程组，可以得到蝮蛇和蜜獾数量随时间的变化，结果如图 9 所示。从图中不难看出，当蝮蛇数量较多时，蜜獾数量会急剧增长。然而，随着蜜獾数量的增加，蜜獾的捕食会导致蝮蛇数量不断减少。蝮蛇数量的不断下降，导致食物供应不足，最终引发蜜獾数量的下降。蜜獾数量的下降又会促使蝮蛇数量再次增加，从而形成一个周期性的动态系统。

图 10 为两个种群数量的相对关系图，生成的相平面图非常清晰地表明了二者数量之间的这种循环关系。

我们还可以通过令两个微分方程等于零来求解不动点，进而探讨是否存在一种情况，即蝮蛇和蜜獾数量达到某一平衡后就不再随时间变化：

由此，我们得到了两个不动点。第一个不动点 (S1, M1) = (0, 0) 是蝮蛇和蜜獾数量都为零的情况。第二个不动点为(S2,M2) = (7.3, 13.1)，该点已经绘制在图 10 中。从图 10 可以看出，蝮蛇和蜜獾数量呈现循环消长，并且以此不动点为中心来回震荡：蝮蛇数量在 7.3 千条上下波动，蜜獾数量在 13.1 只上下波动。

结论

本文通过建立微分方程模型，探讨了“两只蜜獾多久能吃光大连蛇岛上的两万条蛇？”这个问题。首先，本文考虑了没有外来物种（蜜獾）入侵的情况，并使用阻滞增长模型来描述蛇岛上蝮蛇数量随时间的变化。通过对历史数据的拟合，得到了蛇岛的环境容量和蝮蛇的自然增长率。该模型表明，蝮蛇种群具有一定的自然增长率，但在环境容量的限制下，种群数量总会逐渐趋近于环境容量，并达到稳定状态。

在此基础上，本文通过在阻滞增长模型的微分方程中增加一项，考虑了引入两只不繁殖蜜獾的情况。这种情况下，本文还假设了只要蝮蛇没有灭绝，蜜獾始终能捕食到目标数量的蝮蛇。模型结果表明，只要每只蜜獾每 10 天捕食的蝮蛇数量不超过 9 条，岛上的蝮蛇就不会灭绝。反之，蝮蛇就会灭绝。例如，如果每只蜜獾每天吃 2 条蝮蛇，蝮蛇将在 22 年后灭绝。

最后，本文考虑了蜜獾繁殖的情况，通过改进的饱和沃尔泰拉方程描述蜜獾（捕食者）和蝮蛇（猎物）的相互作用，并得出了蝮蛇和蜜獾数量随时间的动态变化。结果表明，蝮蛇和蜜獾数量最终将呈现循环消长的动态平衡，蝮蛇数量在 7.3 千条上下波动，蜜獾数量在 13.1 只上下波动。

虽然本文研究的问题看起来荒诞，但研究结果却给了我们很大的启示：自然界中的食物链是一个相对稳定的系统。人为引入外来物种可能会打破原有的平衡，对整个生态系统造成影响。

参考资料

[1]

Peng Liu, and et al. Population viability analysis of gloydius shedaoensis from northeastern china: a contribution to the assessment of the conservation and management status of an endangered species. Asian Herpetological Research, 1(1) 48–56, 2010.

[2]

Richard Shine, and et al. A radiotelemetric study of movements and thermal biology of insular chinese pit-vipers (gloydiusshedaoensis, viperidae). Oikos, 100(2):342–352, 2003.

[3]

Shaun Clarke. Do badgers eat snakes? (yes, they do), 2023:

[4]

Wikipedia contributors. Lotka–volterra equations, 2023:

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来源：数学模型

编辑：小范